高等数学

1. 函数¶

水平线找反函数，垂直线找单值函数

双曲正弦函数: $\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$
$1$

反双曲正弦函数: $\ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})}$
$1$

双曲余弦函数: $\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$
$1$

1.1 基本不等式:¶

常见不等式
- $(a, b \geqslant 0) \Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$
- $|ab| \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}$
- $(a, b, c \geqslant 0) \Rightarrow \sqrt[3]{a b c} \leqslant \frac{a+b+c}{3} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
$||a| - |b|| \le |a - b|$
$|a \pm b| \le |a| + |b|$

1.2 奇偶性:¶

$f(φ(x))$ (内偶则偶，内奇同外为奇异为偶)

$奇[偶] \Rightarrow 偶$

$偶[偶] \Rightarrow 偶$

$非奇非偶[偶] \Rightarrow 偶$

$偶[奇] \Rightarrow 偶$

$奇[奇] \Rightarrow 奇$

求导后奇偶互换

$u(x)=f(x)+f(-x)，u(x) 一定是偶函数$

$v(x)=f(x)-f(-x)，v(x) 一定是奇函数$

$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]=u(x)+v(x)$

$\frac{1}{a^x + 1} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}·\frac{2^x - 1}{2^x + 1}为奇函数$

1.3 等价无穷小¶

$条件: x → 0$

$sinx、tanx、arcsinx、arctanx、e^x - 1、ln(1 + x)、ln(x + \sqrt{1 + x^2})$ ~ $x$
$1 - cosx$ ~ $x - ln(1 + x)$ ~ $\frac{1}{2}x^2$
$1 - (cosx)^a$ ~ $\frac{1}{2}ax^2$

$条件: x → 0^+$

$(1 + x)^\frac{1}{x} - e$ ~ $-\frac{e}{2}x$

1.4 泰勒公式¶

$条件: x → 0$

$\sin{x}$ = $x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$

$\cos{x}$ = $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$

$\sec{x}$ = $1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

$\arcsin{x}$ = $x + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$

$\tan{x}$ = $x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

$\arctan{x}$ = $x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

$\ln(1 + x)$ = $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

$e^x$ = $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$

$(1 + x)^α$ = $1 + αx \frac{α(α - 1)}{2!}x^2 + o(x^2)$

1.5 重要极限¶

$\lim_{x \to 0} {\frac{\sin{x}}{x}} = 1$

$\lim_{x \to 0} {(1 + x)^\frac{1}{x}} = e$

1.6 四则运算¶

$\lim{f(x)} = A，\lim{g(x)} = B \Rightarrow$ $+-*$ \ 任意使用

$\lim{f(x)}存在，\lim{g(x)}不存在 \Rightarrow \lim{[f(x) \pm g(x)]} 必定不存在$

$\lim{f(x)}不存在，\lim{g(x)}不存在 \Rightarrow \lim{[f(x) \pm g(x)]} 不一定不存在$

2. 数列¶

2.1 常见数列¶

等差数列
1. 通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$
2. 前$n$项和$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
等比数列
1. 通项公式$a_n = a_1q^{n - 1}$
2. 前$n$项和 $S_n = \left\{ \begin{matrix} na_1 (q = 1) \\\\\\ \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} (q ≠ 1) \end{matrix} \right.$

2.2 常见数列前n项和¶

$\sum^{n}_{k = 1}{k} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
$\sum^{n}_{k = 1}{k} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
$\sum^{n}_{k = 1}{\frac{1}{k(k+1)}} = \frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + ... + \frac{1}{n×(n+1)} = \frac{n}{n + 1}$

2.3 重要证明¶

$\lim_{n → \infty}{a_n} = A \Rightarrow \lim_{n → \infty}{|a_n|} = |A|$ 使用极限定义与绝对值不等式证明
当A = 0时 $\lim_{n → \infty}{a_n} = A \Leftrightarrow \lim_{n → \infty}{|a_n|} = |A|$ 常用于夹逼准则

2.4 夹逼准则¶

常见不等式
- $(a, b \geqslant 0) \Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$
- $|ab| \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}$
- $(a, b, c \geqslant 0) \Rightarrow \sqrt[3]{a b c} \leqslant \frac{a+b+c}{3} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
$||a| - |b|| \le |a - b|$
$|a \pm b| \le |a| + |b|$
$0 < a < x < b \Rightarrow 0 < \frac{1}{b} < \frac{1}{x} < \frac{1}{a}，0 < c < y < d，则\frac{c}{b} < \frac{y}{x} < \frac{d}{a}$
$\sin{x} < x < \tan{x}，(0 < x < \frac{π}{2})$
$\sin{x} < x，(x > 0)$
$x < \tan{x} < \frac{4}{π}x，(0 < x < \frac{π}{4})$
$\frac{2}{π}x < \sin{x}，(0 < x < \frac{π}{2})$
$\arctan{x} \leqslant x \leqslant \arcsin{x}，(0 \leqslant x \leqslant 1)$
$e^{x} ≥ x + 1，(x ∈ R)$
$x - 1 ≥ \ln{x}，(x > 0)$
$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} < \ln{(1 + \frac{1}{x})} < \frac{1}{x} 或 \frac{x}{1 + x} < \ln{(1 + x)} < x，(x > 0)$